Ranking de jugadores
Este es un post breve sobre un tema que revisitaremos en el futuro: el ranking de MyL.
Ranking TOR
Mitos y Leyendas ya cuenta con un ranking oficial, el ranking TOR de puntos de liga, que lista a los jugadores en orden descendiente según sus puntos de liga. El ranking TOR también muestra el rendimiento individual del jugador e incluso permite navegar por sus torneos jugados durante la temporada.
Evidentemente todos estos jugadores son muy buenos, ¿pero qué tan buenos?, ¿acaso es mejor jugador el que tiene más puntos de liga o el que tiene mejor rendimiento, o una combinación de ambas?, o mejor aún: ¿qué tan lejos estoy de ser como ellos? El ranking TOR contesta la última pregunta con puntos de liga, los que volverán a 0 al inicio de la próxima semana, funcionando de forma parecida al ranking ATP del tenis.
Pese a que el sistema de ranking TOR es útil para darnos una idea de quiénes son los mejores jugadores de la temporada, presenta múltiples falencias, entre ellas:
❌ Difícil de interpretar: sabemos que tener cientos de puntos es un buen indicador de que el jugador en cuestión es fuerte, ¿pero cuánto más fuerte sería otro jugador con 50 puntos más?
❌ No tiene en consideración las circunstancias en que se obtuvieron los puntos de liga: no valen lo mismo 12 puntos en la liga de Viernes en la noche con mis amigos que 12 puntos en un Premier de Primer Bloque.
❌ Es invariable al jugador que obtiene los puntos: el sistema tiene las mismas expectativas para un jugador con mucho ranking versus otro con poco o nada de ranking.
Por fortuna, existe un sistema de ranking que se apalanca de la ciencia estadística para dar solución a los problemas mencionados, que por lo demás ha sido probado en muchos deportes modernos, como el ajedrez, fútbol americano, pool, béisbol y al ranking de LLMs (Large Language Models, las famosas inteligencias artificiales).
Ranking Elo
El sistema de ranking Elo fue diseñado por el Dr. Árpád Élő, un físico, astrónomo húngaro-estadounidense y fuerte jugador aficionado de ajedrez, quien vivió entre 1903 y 1992. El sistema Elo fue concebido para organizar el ranking de los mejores jugadores de ajedrez, siendo publicado por primera vez en 1960 y manteniéndose vigente hasta la actualidad, alcanzando el status de trascendental a los deportes y juegos. Hoy en día, cualquiera que juegue al menos 5 partidas en torneos oficiales y alcance el resultado de 1 empate (o mejor), será rankeado por la Federación Internacional de Ajedrez o FIDE. Por esto sé que hoy por la noche soy el jugador Nro. 40805 del mundo y el Nro. 206 de Chile.
Cómo funciona
La puntuación Elo de un jugador se determina a partir de sus resultados contra otros jugadores. El truco consiste en comparar el resultado esperado de un enfrentamiento con su resultado real. Cuando un jugador gana un enfrentamiento, gana puntos de Elo, mientras que el jugador derrotado los pierde.
Ejemplifiquemos: los jugadores \(\text{A}\) y \(\text{B}\) tienen rankings de 800 y 500, respectivamente, por lo que sabemos que \(\text{A}\) es mejor que \(\text{B}\). Obviamente, en una partida individual cualquier cosa puede pasar, como un mulligan a 5 y no robar oros, pero en promedio esperamos que el mejor jugador gane más veces de las que gana el peor jugador. Así, si el jugador \(\text{B}\) gana, se le premia con más puntos de ranking que si hubiera ganado \(\text{A}\), ¿cuántos puntos? Esto lo da la fórmula logística:
\[ \mathbb{E}_{\text{A}} = \frac{1}{1+10^{(R_{\text{B}} - R_{\text{A}})/400}}, \]
donde \(\mathbb{E}_{\text{A}}\) es el puntaje esperado del jugador \(\text{A}\), y \(R_{\text{B}} - R_{\text{A}}\) es la diferencia de ranking Elo entre los jugadores. El 10 en la base de la función junto con el 400 le dan un sentido de interpretación al ranking: cada 400 puntos de ventaja que tenga \(\text{A}\) sobre \(\text{B}\) harán que la victoria de \(\text{A}\) sea 10 veces más probable. Estos coeficientes pueden ser modificados a placer para cambiar la interpretación del estadístico.
Continuando con el ejemplo, el resultado esperado de \(\text{A}\) en una partida contra \(\text{B}\) es 0.85. Otra propiedad del ranking es que \(\mathbb{E}_{\text{A}} + \mathbb{E}_{\text{B}} = 1\), por lo que el resultado esperado de \(\text{B}\) es 0.15.
Quién tiene más mérito, David o Goliat
La victoria del jugador \(\text{A}\) es esperable, pues es el jugador más fuerte, por ende, se le premiaría con pocos puntos Elo. Al contrario, una victoria de \(\text{B}\) sería inesperada, por lo que se le premiaría con mucho más puntos de Elo. Supongamos que David gana a Goliat, entonces \(R'_{\text{A}}\) y \(R'_{\text{B}}\), los ranking actualizados, se calculan así:
\[ R'_{\text{A}} = R_{\text{A}} + K (S_{\text{A}} - \mathbb{E}_{\text{A}}). \]
Aquí \(S_{\text{A}}\) es el resultado real del jugador, tomando los valores 1 para victoria y 0 para derrota. Lo último que nos falta por definir es \(K\), o máximo Elo que se puede ganar o perder. Un \(K\) grande hace que el ranking sea volátil, mientras que uno pequeño lo hace estable. En ajedrez, los jugadores nuevos y los jóvenes gozan de un \(K\) de 40, mientras que el de maestros es 16. Como el ranking Elo no ha sido implementado en MyL, ambos jugadores son nuevos en el ranking y tienen un coeficiente de 40.
Como en nuestro ejemplo \(\text{A}\) es derrotado, su nuevo Elo es:
\[ R'_{\text{A}} = 800 + 40(0-0.85)=766. \]
Análogamente, el Elo actualizado de \(\text{B}\) es:
\[ R'_{\text{B}} = 500 + 40(1-0.15)=534. \]
Noten que los 34 puntos que perdió un jugador los ganó el otro.
TOR vs Elo
Para finalizar, un cuadro de comparación entre los sistemas de ranking.
| TOR | Elo |
|---|---|
| favorece al más ganador | favorece al que gana a mejores jugadores |
| se reinicia cada temporada | es imperecedero |
| difícil de interpretar | interpretación exacta |
| todas las victorias y derrotas son iguales | toma en consideración al jugador y su oponente |
| se desconoce su respaldo científico | más de 60 años de vigencia |